LOS NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros
están formados por los números positivos, los negativos y el cero. Los enteros aparecen
en muchas situaciones de nuestro alrededor:
temperaturas, fechas, dinero y
deudas, ascensores, alturas y profundidades ...
OBJETIVOS
Aprenderás a:
• Utilizar
números enteros en distintos contextos.
• Representar
y ordenar números enteros.
• Hallar
el valor absoluto y el opuesto de un número entero.
• Sumar,
restar, multiplicar, dividir, realizar potencias y extraer raíces cuadradas de números enteros.
• Operar
con números enteros respetando la jerarquía de las operaciones
ANTES DE EMPEZAR
¿Sabes el resultado de esta resta?
Aunque resulte extraño costó muchos años admitir que se podía realizar.
Parece que chinos e hindúes utilizaban cantidades
negativas desde el siglo V.
Pero no fueron admitidos en Occidente hasta muchos siglos
más tarde.
¿Sabes cómo llamaban a los números
negativos?
Números ficticios, absurdos, raíces falsas y números deudos. Algún
matemático llegó incluso a decir que no deberían haber sido admitidos y que
deberían eliminarse.
INTRODUCCIÓN
En la vida real hay situaciones en las que los números naturales
no son suficientes.
Por ejemplo: si tienes 10 euros y debes 15 euros ¿De cuánto
dispones?. Observa a la derecha distintas situaciones en las que se necesitan
números enteros.
Los números enteros son una ampliación de los naturales:
• Los naturales
se consideran enteros positivos (se escriben con el signo +)
• Los enteros
negativos van precedidos del signo -.
• El cero es un
entero pero no es ni negativo ni positivo.
LA
RECTA NUMÉRICA
Los números enteros pueden ordenarse
de menor a mayor en la recta numérica. Debemos trazar una recta y pintar el
cero en el centro Dividir la recta en segmentos iguales Colocar los números
positivos a partir del cero a la derecha y los números negativos a partir del
cero a la izquierda.
ORDENAR
Y COMPARAR NÚMEROS ENTEROS
Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta
numérica mayor es. Cuanto más a la izquierda esté situado menor es.
¿ Cuál
es el valor de A y de B ?
¿Cuál
es menor? ¿Cuál es mayor?
VALOR
ABSOLUTO
¿A qué distancia se encuentra –3 y cero?
¿A qué distancia se encuentra +7 de cero?
El valor absoluto es una distancia
por lo que no puede ser negativo.
OPUESTO
DE UN NÚMERO ENTERO
Lo contrario de deber es tener.
Lo contrario de 4º C es 4º bajo cero.
Lo contrario de 5 m de altura es 5 m bajo el nivel del mar
etc.
Si hablamos de dinero ¿cómo están relacionadas
las cantidades +4 y –4?
EJERCICIOS
1. Escribe el número que mejor representa la situación que se
plantea:
a) Bajamos al sótano 3
b) Nació en el año 234 antes de Cristo
c) El avión vuela a 2455 m de altura
d) El termómetro marcaba 5º C bajo cero
2. ¿Cuál
es el valor de A y de B?
a)
b)
3. Escribe
el signo < o > según convenga:
a) –2 -6 b) –2 +4 c) +5 +12 d) +4 -8
4. Ordena
de menor a mayor
a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4
5. Completa
adecuadamente
a) |-5| = b) |+7| = c) op(+6)= d) op(-4)=
SUMA Y DIFERENCIA DE ENTEROS
Suma de dos enteros
¿Qué significan las siguientes expresiones?
• +6 +3 = +9
tienes 6 y te dan 3 => tienes 9.
• -7 -5 = -12
debes 7 y gastas 5 => acumulas una deuda de 12.
• -6 +8 = +2
tienes 8 pero debes 6 => tienes 2.
El dinero supera las deudas
• -5 +3 = -2
debes 5 y tienes 3 => debes 2.
Las deudas superan el dinero.
SUMA
DE TRES O MÁS ENTEROS
Para sumar 3 ó más enteros tenemos dos métodos:
1) Agrupar
los dos primeros sumandos y sumar al resultado el tercer sumando
+6 -4 +3 = -2 +3 = +1
En el caso de 4 sumandos se puede agrupar de dos en dos:
+6 -4 +3 -2 =
+2 +1 = +3
2) Sumar
los positivos por un lado (tener) y los negativos (deber) por el otro y
finalmente hallar el resultado
deber tener
-7 +8 -5 = -12 +8 = -4
deber tener
+6 -4 +3 -2 = -6 +9 =
+3
¿Qué significan las expresiones?
+(+3) +(-3) -(+3) -(-3)
¿Debo o tengo?
+(+a) = +a -(-a
) = +a
+(-a ) = -a -(+a) = -a
Si los dos signos son iguales el resultado positivo
Si los dos signos son distintos el resultado es negativo
Ejemplos: +(+2) =+2 -(-2) = +2
- (+2) = -2 +(-2) = -2
¿ Cuál es el resultado? Eliminar paréntesis Operar
(+3) + (-5) = +3 – 5 = -2
(-2) + (+4) = -2 + 4
= +2
(+1) - (+7) = +1 – 7 = -6
(+2) - (-6) = +2 + 6 =
+8
(-2) - (+6) = -2 - 6 =
-8
Lo anterior es válido si hay tres ó más enteros, fíjate en
los ejemplos
EXPRESIONES
SENCILLAS CON PARÉNTESIS
El signo más (+) puede indicar suma o
que el Nº es positivo.
El signo menos (-) puede indicar
resta o que el Nº es negativo.
¿Cómo escribimos "sumar al
5 el Nº -6"?
No es correcto escribir 5 + -6, lo correcto es 5+(-6)
¿Cómo escribir "restar al
6 el nº -8"?
No es correcto 6 - -8 lo correcto es 5 - (-8)
No podemos escribir dos signos
seguidos, debemos separarlos mediante un paréntesis
SUMA Y
DIFERENCIA DE ENTEROS CON PARÉNTESIS
Cuando se presenten ejercicios del tipo:
• ( -5 ) + ( -2
) =
• ( +3 ) - ( -7
) =
Deberemos
1º) Eliminar los paréntesis
2º) Operar adecuadamente los nº resultantes
Recuerda que: + (+a) = +a - (+a) = -a
+ (-a) = -a - (-a) = +a
(+2) - (+6) + (-5) = +2 - 6
- 5 = -9
(-3) + (-5) - (-7) = -3 – 5 + 7
= -5
(-2) – (-5) + (-3) – (-2) = -2 +5 –3
+2 = +2
(-3) + (-4) – (-3) + (-1) = -3 –4 +3 –1
= -5
EJERCICIOS
6. Realiza
las siguientes sumas de números enteros
a) +7 +4 = b) –5 –4 = c) +8 –2 = d) –5 +9 =
7. Realiza
la siguientes sumas de números enteros usando el método de agrupar
a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8
=
8. Realiza
la siguientes sumas de números enteros usando el método de tener y deber
a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8
=
9. Escribe
el resultado
a) + (+3) = b) – (+4)= c) – (-5)= d) + (-2) =
10. Realiza
las siguientes sumas y diferencias de números enteros
a) +(+3) + (-5) =
b) –(+4) – (+6) =
c) – (-5) + (+7) =
d) -(+3) + (+1) – (-4) =
e) -(+2) - (+1) – (+5) =
f) -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)=
g) -(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=
PRODUCTO Y DIVISIÓN DE ENTEROS
PRODUCTO
DE ENTEROS
Para multiplicar enteros debemos:
1º) Multiplicar los nº sin signo
2º) Aplicar la regla de los signos
Ejemplos:
(+4)·(+3)
= +12
(-2 )·(-5 )
= +10
(+4)·(-2 )
= -8
(-6 )·(+4)
= -24
- Juan ahorra 6 al mes, ¿cuánto ahorrará al cabo de 4 meses?
(+6)·(+4)
=+24 ahorrará al cabo de 4 meses.
- Ana gasta 5 al mes. ¿Cuánto gastará al cabo de 3 meses?
(-5)·(+3) =-15 gastará al cabo de 3 meses.
- Luis gasta 7 al mes en CD. Deja de comprar durante 2 meses. ¿Cuánto ha ahorrado?
(-7)·(-2)
=+14 ahorrará al cabo de 2 meses.
DIVISIÓN
DE ENTEROS
Para dividir enteros debemos:
1º) Dividir los nº sin signo 8 – 9
2º) Aplicar la regla de los signos
Ejemplos:
(+24):(+3)
= +8
(-20 ):(-5 )
= +4
(+14):(-2 )
= -7
(-16 ):(+2)
= -8
¿Qué número multiplicado
por +6 +30?
¿Qué número multiplicado
por -5 da +15?
¿Qué número multiplicado
por -7 da -21?
EJERCICIOS
11. Realiza
los siguientes productos y divisiones de números enteros
a) (+4)·(+3)= b)
(+5)·(-2)= c) (-4)·(-5)= d) (-3)·(+7)=
e) (+24):(+3)= f)
(+15):(-3)= g) (-14):(-2)= h) (-30):(+6)=
POTENCIA Y RAÍZ CUADRADA
POTENCIAS
DE ENTEROS
Según se trate de un número positivo
o negativo, tenemos los siguientes casos:
Base positiva
(+2)3 = (+2)·(+2)·(+2) = +8
(+2)4 =(+2)·(+2)·(+2)·(+2)=+16
Base negativa exponente par
(-2)3 = (-2)·(-2)·(-2) = -8
Base negativa exponente impar
(-2)4 =(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=+16
RAÍZ
CUADRADA DE UN NÚMERO ENTERO
• Raíz cuadrada
de un número positivo.
Raíz cuadrada de un número negativo
EJERCICIOS
12. Calcula
las siguientes potencias y raíces cuadradas
a) (+3)2 = b) (-5)3 = c)
(-3)4 = d) (-3)5 = e) (-2)4 = f)
−16= g) 9= h) − 9 =
i) 25 = j) 16
OPERACIONES COMBINADAS
JERARQUÍA
DE OPERACIONES
Observa que hay dos tipos de
paréntesis:
• Paréntesis
de tipo I: en ellos hay operaciones
Por ejemplo: 3+4-(2+3·5) =
• Paréntesis
de tipo II: sirven para separar signos.
Ejemplo: -3- (-4) + (-2) =
Los primeros deben operarse en primer
lugar y los segundos deben eliminarse en el momento oportuno.
Para realizar operaciones con números
enteros se ha de respetar el siguiente orden:
1ª) operar los paréntesis (tipo I)
2º) realizar las multiplicaciones y
las divisiones
3º) realizar las sumas y las restas
Ej 1: +3 – (+4)·(-2) =
1.-Multiplicar +3 – (-8) =
2.-Eliminar paréntesis +3 +8 =
3.-Sumar +11
Ej 2: +1 + (-6):(+4-7)=
1.-Paréntesis +1 + (-6): (-3) =
2.-División +1 + (+2) =
3.-Quitar paréntesis +1+2 =
4.-Sumar +3
Ej 3: -4 + [-3 – (-14):(+2)] =
1.-División paréntesis -4+[-3-(-7)]=
2.-Quitar paréntesis -4 +[-3+7]=
3.-Suma paréntesis -4 + [+4] =
4.-Quitar paréntesis -4 +4=
5.-Sumar 0
EJERCICIOS
13. Realiza
las siguientes operaciones
a) +7 + (-9)·(+5) =
b) –5 + (-6):(+6) =
c) +1-(-36):(-9-9) =
d) +1 +(+6)·(+5-6) =
e) –6 – [+3 -(-5): (+5)] =
f) +8+ [+4 +(-7)·(-9)] =
